По образованию филолог (кандидат филологических наук), в 1987 году окончил Якутский государственный университет. В 1992 получил второе высшее образование по специальности театральный режиссёр, окончив режиссёрский факультет ГИТИСа (мастерская Анатолия Васильева). В 1996—97 годах стажировался в Халльском университете в Великобритании. В 1997 году защитил кандидатскую диссертацию по английской литературе в Московском педагогическом государственном университете по теме «Ориентальные мотивы в творчестве Оскара Уайльда». Работал доцентом кафедры английской филологии Якутского университета, преподавал стилистику английского языка и анализ художественного текста. Женат, имеет троих детей.
Первой публикацией Геласимова стал перевод американского писателя Робина Кука «Сфинкс», опубликованный в журнале «Смена» в начале 90-х. В 2001 году была издана повесть о первой любви «Фокс Малдер похож на свинью», которая вошла в шорт-лист премии Ивана Петровича Белкина за 2001 год, в 2002 году повесть «Жажда» о молодых ребятах, прошедших Чеченскую войну, опубликованная в журнале «Октябрь», также вошла в сокращённый список премии Белкина и была отмечена премией имени Аполлона Григорьева, а также ежегодной премией журнала «Октябрь». В 2003 году в издательстве «О.Г.И.» вышел роман «Год обмана», в основе сюжета которого классический «любовный треугольник», ставший самой распродаваемой книгой Геласимова на сегодняшний момент. В сентябре 2003 вновь журнал «Октябрь» публикует роман «Рахиль» о немолодом уже профессоре-филологе Святославе Койфмане, еврее-полукровке, типичном неудачнике. В 2004 году за этот роман Геласимов удостоился премии «Студенческий Букер».
В 2005 на Парижском книжном Салоне Андрей Геласимов был признан самым популярным во Франции российским писателем, обойдя Людмилу Улицкую и Бориса Акунина.[1] В составе делегаций российских писателей участвовал в международных книжных ярмарках во Франкфурте (2003), Лейпциге (2004), Варшаве (2004), Париже (2005), Будапеште (2005), Женеве (2007). Принимал участие в региональных книжных выставках в Бордо (Франция, 2005), Сен-Мало (Франция, 2005), Фюво (Франция, 2007), Монпелье (Франция, 2008), Ди (Франция, 2008) и др. В марте 2010 года по приглашению Министерства иностранных дел Франции участвовал в официальной программе юбилейного 30-го Книжного Салона в Париже. Переведен на французский, немецкий, испанский, итальянский, словенский, болгарский, каталанский, сербский, эстонский, иврит, а также — английский, китайский, норвежский, латышский, венгерский, чешский и шведский языки.
В 2008 в издательстве ЭКСМО вышел роман Геласимова «Степные боги». В основе сюжета книги лежит история дружбы забайкальского подростка Петьки и пленного японца — врача Хиротаро. Действие романа происходит в вымышленном селе Разгуляевка летом 1945 года, накануне вторжения советских войск в Японию и бомбардировки Хиросимы и Нагасаки, откуда происходит родом сам Хиротаро. Помимо романа в книгу включены рассказы о предвоенной жизни Разгуляевки, сюжетно с ним связанные.
В 2009 году Андрей Геласимов стал лауреатом литературной премии «Национальный бестселлер» за роман «Степные боги».
В конце 2009 года вышел роман «Дом на Озёрной» — современная история о представителях многочисленной семьи, потерявших все свои накопления в эпоху кризиса.
В конце 2010-го вышла книга «Кольцо Белого Волка», написанная Геласимовым для своих троих детей, когда писатель жил в Англии. Геласимов писал историю по главе и отсылал домой по почте в конвертах. Книга оформлена рисунками художницы Кэти Тренд.
В настоящее время Геласимов работает над произведением с рабочим названием «Холод», действие которого будет разворачиваться в Якутии.
Среди своих литературных учителей Геласимов называет Уильяма Фолкнера, Иосифа Бродского и Эрнеста Хемингуэя.
